1- La alcancía de un niño contiene dos veces más monedas de 10 centavos que de 5 centavos, y cuatro veces más monedas de un centavo que monedas de 5. Hay 42 monedas en la alcancía ¿cuál es el valor total de las monedas?
Sea x= las monedas de 5 centavos
2x=las monedas de 10 centavos
4x=las monedas de un centavo
X+2x+4x=42 (ecuación planteada)
7x=42
X=42/7=6 monedas de 5 centavos
2x=2(6)=12 monedas de 10 centavos
4x=4(6)=24 monedas de un centavo
2- En un local de comida rápida, una orden de 4 hamburguesas, dos papas fritas y y tres refrescos cuesta 56 pesos. Una orden de cuatro hamburguesas, tres papas fritas y dos refrescos cuesta 46 pesos. Una orden de seis hamburguesas, cuatro papas fritas tres refrescos cuesta 68 pesos. ¿cuál será el precio de una sola hamburguesa con un refresco?
Sea x= el precio de las hamburguesas
Y= el precio de las papas fritas
Z= el precio de refrescos
1— 5x+2y+3z=56
2— 4x+3y+2z=46
3— 6x+4y+3z=68
4-- Por reducción:
5x+2y+3z=56x (-2)
4x+3y+2z=46x (3)
-10x-10y-6z=-112
12x+9y+6z=138
2x-y=26
5-- Por reducción
6x+4y+3z=68x (-1)
5x+2y+3z=56x (1)
-6x-4y-3z=-68
5x+2y+3z=56
-x-2y=-12
Comparamos 4 y 5:
2x-y=26x(1)
-x-2y=-12x(2)
2x-y=26
-2x-4y=-24
-5y=2
Y=-2/5
El valor de x:
2x-y=26
2x-(-2/5)=26
2x=26-2/5
2x=130-2=128
5 5
X=128÷2=128=64
5 10 5
3- Una farmacia vende 10 frascos de vitamina A, cinco frascos de vitamina C y 25 frascos de vitamina D, todo por un valor de 355 pesos. Además, vende 20 frascos de vitamina A, 10 de vitamina C y 10 de vitamina D por un total de 310 pesos. Por otra parte vende 12 frascos de vitamina A, cuatro de vitamina C y 15 de vitamina D por un total de 266 pesos.
Encuentra el costo correspondiente a cada frasco de la vitaminas A, C y D.
X= el precio de vitamina A
Y= el precio de vitamina C
Z= el precio de vitamina D
10x+5y+25z=355
20x+10y+10z=310
12x+10y+15z=266
Solución por reducción:
10x+5y+25z=355x (-2)
20x+10y+10z=310x (5)
-20x-10y-50z=-710
100x+50y+50z=1550
80x+40y=840
12x+10y+15z=266x (2)
20x+10y+10z=310x (-3)
24x+20y≠30z=532
-60x-30y-30z=-930
-36x-10y=-398
80x+40y=840x (1)
-36x-10y=-398x (4)
80x+40y=840
-144x-40y=-1592
-64x=-752
X=-752/-64=$11,75
El valor de y:
80x+40y=840
80(11,75)+40y=840
940+40y=840
40y=840-940
40y=100
Y=109/40=$2,5
El valor de z:
10x+5y+25z=355
10(11,75)+5(2,5)+25z=355
117,5+12,5+25z=355
Z=355-130/25
Z=225/25=$9
4- Un laboratorista tiene tres soluciones que contienen cierto ácido. La primera solución contiene 10% de sustancia ácida, la segunda 30% y la tercera 50%. Desea utilizar las tres soluciones para obtener una mezcla de 60 litros que contenga 30% de ácido, utilizando tres veces más solución de la solución de 50% que la de 30%. ¿cuántos litros de cada solución debe usar?
Sea x=solución del 10%
Y= solución del 30%
Z=solución del 50%
Y+3y=60
4y=60
Y=60÷4=15
3(15)=45 litros
2(15)=30 litros
5- Una mujer compró tres clases diferentes de acciones por $20.000. una de ellas paga un 6% anual de intereses, otra paga un 7%, y la otra un 8% anual. Al finalizar del primer año, la suma de los intereses de las acciones al 6% y al 7% es de $940 y la suma de los intereses de las acciones al 6% y al 8% es de 720. ¿cuánto invirtió en cada una de las acciones?
0,07x+0,06y=340
0,06x+0,08y=720
Solución por reducción
0,07x+0,06y=340.(-0,08)
0,06x+0,08y=720.(0,06)
-0,0056x+0,0048y=-27,2
0,0036+0,0048y=43,2
-010020x=16
X=16÷0,0020=8000 acciones de 7%
0,07(8000)+0,06y=340
560+0,06y=340
Y=200÷0,06=3333 acciones de 6%
6- La suma de las áreas de dos cuadrados es 106m2 y la suma de sus perímetros es 56m. determina la medida de los lados de los cuadrados.
A1+A2=1006m2
4L+4L=56m
8L=56m
L=56m÷8=7m
A1=(7m) ²=49m2
A1+A2=106m2
A2=106m2-49m2=57m2
A2=57m2
L2=√57m2
7- El perímetro de un rectángulo es 46m. la medida de la diagonal es 17m. determinar las dimensiones de los lados del rectángulo.
2x+2y=46
x²+y²=(17) ²
x²+y²=289
2x+2y=46
2(x+y)=46
X+y=46÷2
X+y=23
Y=23-x
Sustituimos:
x²+y²=289
x²+(23-x) ²=289
x²+529-46x+x²=289
2x²-46x+529-289=0
2x²=46x+240=0
2(x²-23x+120)=0
x²-23x+120=0
(x-8)(x-15)=0 factorizando
x-8=0 1 x-15=0
x=8 1 x=15
el valor de y:
y=23-x
y=23-15=8
8- ¿cuáles son los números cuyo producto es 270 y cuyo cociente es 1.2?
Sea x=el número mayor
Y= el número menor
x.y=270
x/y=0,2=> x =0.2y
Reemplazamos:
x.y=270
(0,2y).y=270
0,2y²=270
y²=270÷0,2=1350
√y²=√1350
Y=36,74
El valor de x:
X= 0.2y
X= 0,2.(36,74)
X= 7,34
9- Un círculo es tangente exteriormente a otro. La suma de sus áreas es de 80π cm2. Determina el radio de cada circulo, sabiendo que sus centros están separados 12 cm.
Ao= π.R² (ÁREA DEL CIRCULO)
Ao1+Ao2=80 πcms2
R=D/2=12/2=6m π.R1²+ π.R2²=80 π
Π(R1²+R2²)=80 π
R1²+R2²=80
R1²=80- R2²
R1²=80-6²
R1²=80-36
R1²=44cm2
√ R1²=√44cm2
R1=6,6cm
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